Moguće vrijednosti slučajne varijable. Slučajna vrijednost. Zadaci za samostalan rad
Diskretna slučajna varijabla i zakon njezine raspodjele
Zajedno s konceptom slučajnog događaja, teorija vjerojatnosti također koristi prikladniji koncept nasumična varijabla.
Definicija. Nasumična varijabla je veličina koja kao rezultat pokusa poprima jednu od svojih mogućih vrijednosti, a nije unaprijed poznato koju.
Slučajne varijable označavat ćemo velikim slovima latinične abecede ( X, Y, Z,…), a njihova moguća značenja navedena su odgovarajućim malim slovima ( x i, y i,…).
Primjeri: broj bodova dobivenih prilikom bacanja kocke; broj pojavljivanja grba u 10 bacanja novčića; broj hitaca do prvog pogotka u metu; udaljenost od središta mete do rupe pri udaru.
Može se primijetiti da skup mogućih vrijednosti za navedene slučajne varijable ima drugačiji tip: za prve dvije količine konačan je (6 odnosno 11 vrijednosti), za treću količinu skup vrijednosti je beskonačan i predstavlja skup prirodnih brojeva, i za četvrti– sve točke segmenta čija je duljina jednaka polumjeru mete. Dakle, za prve tri veličine dobivamo skup vrijednosti iz pojedinačnih (diskretnih) vrijednosti međusobno izoliranih, a za četvrtu predstavlja kontinuirano područje. Prema ovom pokazatelju slučajne varijable se dijele u dvije skupine: diskretne i kontinuirane.
Definicija. diskretna, ako poprima zasebne, izolirane moguće vrijednosti s određenim vjerojatnostima. Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan.
Definicija. Slučajna varijabla se zove stalan, ako skup njegovih mogućih vrijednosti u potpunosti ispunjava neki konačni ili beskonačni interval. Broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačan.
Da biste odredili diskretnu slučajnu varijablu, morate znati njezine moguće vrijednosti i vjerojatnosti s kojima su te vrijednosti prihvaćene. Dopisivanje između njih zove se zakon raspodjele nasumična varijabla. Može biti u obliku tablice, formule ili grafikona.
Tablica koja navodi moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerojatnosti naziva se blizu distribucije:
| x i | x 1 | x 2 | … | x n | … | moguće vrijednosti |
| p i | str 1 | str 2 | … | p n | … | vjerojatnost mogućih vrijednosti |
Imajte na umu da je slučaj da slučajna varijabla poprimi jednu od svojih mogućih vrijednosti pouzdan, dakle, ili
Zadatak. Novčić se baca 5 puta. Slučajna vrijednost x– opada broj grbova. Sastavite niz distribucije slučajne varijable X.
Riješenje. Očito je da x može imati 5 vrijednosti: 0, 1, 2, 3, 4, 5, to je x= 0, 1, 2, 3, 4, 5. Prema uvjetu, . Izračunajmo vjerojatnost svake vrijednosti pomoću Bernoullijeve formule: .
Grb se neće pojaviti niti jednom (k = 0): .
Ili .
Grb će se pojaviti jednom (k = 1):
.
Grb će se pojaviti dva puta (k = 2):
Grb će se pojaviti tri puta (k = 3):
Grb će se pojaviti četiri puta (k = 4):
Grb će se pojaviti pet puta (k = 5):
Stoga niz distribucije izgleda ovako:
| binomne vjerojatnosti |
U ovom slučaju zbroj vjerojatnosti jednak je jedan:
Grafički se zakon raspodjele diskretne slučajne varijable može prikazati kao distribucijski poligon– isprekidana linija koja povezuje točke ravnine s koordinatama ( x i, p i). Odnosno, moguće vrijednosti slučajne varijable iscrtavaju se duž apscisne osi, a vjerojatnosti tih vrijednosti iscrtavaju se duž ordinatne osi. Radi jasnoće, rezultirajuće točke povezane su ravnim segmentima. Poligon distribucije, kao i serija distribucije, u potpunosti karakterizira slučajnu varijablu i jedan je od oblika zakona distribucije.
Obrazovna ustanova "Bjeloruska država
poljoprivredna akademija"
Katedra za višu matematiku
Smjernice
proučavati temu “Slučajne varijable” studentima Računovodstvenog fakulteta za dopisno obrazovanje (NISPO)
Gorki, 2013. (monografija).
Slučajne varijable
Diskretne i kontinuirane slučajne varijable
Jedan od glavnih pojmova u teoriji vjerojatnosti je koncept nasumična varijabla . Nasumična varijabla je veličina koja kao rezultat ispitivanja poprima samo jednu od svojih brojnih mogućih vrijednosti, a nije unaprijed poznato koju.
Postoje slučajne varijable diskretan i kontinuiran . Diskretna slučajna varijabla (DRV) je slučajna varijabla koja može poprimiti konačan broj međusobno izoliranih vrijednosti, tj. ako se moguće vrijednosti ove količine mogu preračunati. Kontinuirana slučajna varijabla (CNV) je slučajna varijabla čije sve moguće vrijednosti u potpunosti ispunjavaju određeni interval brojevnog pravca.
Slučajne varijable se označavaju velikim slovima latinične abecede X, Y, Z itd. Moguće vrijednosti slučajnih varijabli označene su odgovarajućim malim slovima.
Snimiti 
znači "vjerojatnost da slučajna varijabla x poprimit će vrijednost 5, što je jednako 0,28."
Primjer 1 . Kocka se baca jednom. U tom slučaju mogu se pojaviti brojevi od 1 do 6 koji označavaju broj bodova. Označimo slučajnu varijablu x=(broj osvojenih bodova). Ova slučajna varijabla kao rezultat testa može poprimiti samo jednu od šest vrijednosti: 1, 2, 3, 4, 5 ili 6. Dakle, slučajna varijabla x postoji DSV.
Primjer 2 . Kad se kamen baci, prijeđe određenu udaljenost. Označimo slučajnu varijablu x=(kamena udaljenost leta). Ova slučajna varijabla može uzeti bilo koju, ali samo jednu vrijednost iz određenog intervala. Prema tome, slučajna varijabla x postoji NSV.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable
Diskretnu slučajnu varijablu karakteriziraju vrijednosti koje može poprimiti i vjerojatnosti s kojima se te vrijednosti uzimaju. Poziva se podudarnost između mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti zakon raspodjele diskretne slučajne varijable .
Ako su poznate sve moguće vrijednosti 
nasumična varijabla x i vjerojatnosti 
pojave tih vrijednosti, tada se vjeruje da zakon raspodjele DSV x je poznat i može se napisati u obliku tablice:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
DSV zakon raspodjele može se grafički prikazati ako su točke prikazane u pravokutnom koordinatnom sustavu 
,
,
…,
i spojite ih ravnim segmentima. Dobivena figura naziva se poligon distribucije.
Primjer 3 . Zrno namijenjeno čišćenju sadrži 10% korova. Slučajno su odabrana 4 zrna. Označimo slučajnu varijablu x=(broj korova među četiri odabrana). Konstruirajte DSV zakon raspodjele x i distribucijski poligon.
Riješenje . Prema uvjetima primjera. Zatim:
Zapišimo zakon raspodjele DSV X u obliku tablice i konstruirajmo poligon raspodjele:
|
|
Očekivanje diskretne slučajne varijable
Najvažnija svojstva diskretne slučajne varijable opisana su njezinim karakteristikama. Jedna od tih karakteristika je očekivana vrijednost nasumična varijabla.
Neka se zna DSV zakon raspodjele x:
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Matematičko očekivanje
DSV x je zbroj umnožaka svake vrijednosti ove količine s odgovarajućom vjerojatnošću: 
.
Matematičko očekivanje slučajne varijable približno je jednako aritmetičkoj sredini svih njezinih vrijednosti. Stoga se u praktičnim problemima prosječna vrijednost ove slučajne varijable često uzima kao matematičko očekivanje.
Primjer 8 . Strijelac postiže 4, 8, 9 i 10 bodova s vjerojatnostima 0,1, 0,45, 0,3 i 0,15. Nađite matematičko očekivanje broja bodova s jednim hicem.
Riješenje . Označimo slučajnu varijablu x=(broj postignutih bodova). Zatim . Tako je očekivani prosječni broj poena postignut s jednim udarcem 8,2, a s 10 hitaca - 82.
Glavna svojstva matematička očekivanja su:
.
.
, Gdje 
,
.
.
, Gdje x I Y
Razlika 
nazvao odstupanje
nasumična varijabla x od svog matematičkog očekivanja. Ova razlika je slučajna varijabla i njeno matematičko očekivanje je nula, tj. 
.
Varijanca diskretne slučajne varijable
Za karakterizaciju slučajne varijable, osim matematičkog očekivanja, također koristimo disperzija , što omogućuje procjenu disperzije (rasprostiranja) vrijednosti slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja. Kada se uspoređuju dvije homogene slučajne varijable s jednakim matematičkim očekivanjima, "najboljom" vrijednošću smatra se ona koja ima manji raspon, tj. manja disperzija.
Varijanca nasumična varijabla x naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja: .
U praktičnim problemima koristi se ekvivalentna formula za izračunavanje varijance.
Glavna svojstva disperzije su:
.
.
, Gdje x I Y su nezavisne slučajne varijable.
Disperzija karakterizira širenje slučajne varijable oko njenog matematičkog očekivanja i, kao što se može vidjeti iz formule, mjeri se u kvadratnim jedinicama u usporedbi s jedinicama same slučajne varijable. Stoga, da bismo uskladili mjerne jedinice širenja slučajne varijable s mjernim jedinicama same vrijednosti, uvodimo standardna devijacija
.
Primjer 9 . Pronađite disperziju i standardnu devijaciju DSV-a x, dano zakonom raspodjele:
|
|
Riješenje . DSV varijanca x izračunati po formuli
Nađimo matematičko očekivanje ove slučajne varijable: . Zapišimo zakon raspodjele za slučajnu varijablu 
:
|
|
||||
|
|
,
.
Pitanja za samokontrolu znanja
Što je slučajna varijabla?
Koja se slučajna varijabla naziva diskretnom, a koja kontinuiranom?
Kako se zove zakon distribucije diskretne slučajne varijable?
Što je matematičko očekivanje diskretne slučajne varijable i koja su njena glavna svojstva?
Koliko je odstupanje slučajne varijable od njenog matematičkog očekivanja?
Što se zove varijanca diskretne slučajne varijable i koja su njena glavna svojstva?
Zašto je standardna devijacija uvedena i kako se izračunava?
Zadaci za samostalan rad
U rizičnoj situaciji znamo ishode jedne ili druge alternative i vjerojatnosti s kojima se ti ishodi mogu dogoditi. Odnosno, znamo distribuciju vjerojatnosti ishoda, tako da se oni mogu prikazati (modelirati) u obliku nasumična varijabla. U ovom odjeljku prisjetit ćemo se informacija iz teorije vjerojatnosti o slučajnim varijablama i metodama za njihovo određivanje, koje će biti potrebne za daljnje proučavanje gradiva u knjizi.
Prema klasična definicija, slučajna veličina je veličina čija vrijednost može nasumično varirati od eksperimenta do eksperimenta. To jest, u svakom "testu" može uzeti jednu vrijednost iz određenog skupa. Međutim, nemoguće je točno predvidjeti koju će vrijednost imati.
Slučajne varijable se dijele na diskretne i kontinuirane. Diskretni SV može uzeti samo konačan ili prebrojiv skup vrijednosti. Kontinuirani SV može uzeti bilo koju vrijednost iz nekog zatvorenog ili otvorenog intervala, uključujući i beskonačni.
3.2.2. Zakon raspodjele slučajne varijable
Slučajna varijabla je određena svojim zakonom raspodjele. Zakon raspodjele smatra se određenim ako:
- skup mogućih vrijednosti slučajne varijable (uključujući beskonačne) i
- vjerojatnost da slučajna varijabla padne u proizvoljno područje ovog skupa ili zakon (formula) koji omogućuje izračunavanje takve vjerojatnosti.
U biti, vjerojatnost je pokazatelj koji karakterizira mogućnost pojavljivanja slučajne varijable u određenom području.
Najčešći i najrašireniji način određivanja vjerojatnosti različita značenja slučajna varijabla je zadatak funkcije distribucije vjerojatnosti, što je skraćeno kao distribucijska funkcija.
Funkcija distribucije slučajne varijable X je funkcija F(x), koja zadaje vjerojatnost da će SV uzeti vrijednost manju od određene vrijednosti x, to jest:
F(x) = P(X< x)
X ("x big") - označava slučajnu varijablu,
x ("x mali") je određena vrijednost iz skupa mogućih vrijednosti slučajne varijable.
Funkcija distribucije je neopadajuća. Kako x teži minus beskonačno, teži nuli, a kada x teži plus beskonačno, teži jedinici.
Oblik prikaza zakona raspodjele slučajne varijable može biti različit i ovisi o tome radi li se o diskretnoj ili kontinuiranoj slučajnoj varijabli.
Iz definicije funkcije distribucije proizlaze sljedeće ovisnosti:
vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednosti u intervalu od a do b:
P(a ≤ X< b) = F(b) - F(a)
vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednosti ne manje od a:
3.2.3. Načini prikaza distribucije diskretne slučajne varijable
Diskretna slučajna varijabla može se u potpunosti odrediti svojom funkcijom raspodjele ili nizom raspodjele (tablica). Mogu se prikazati u tabelarnom, analitičkom ili grafičkom obliku.
Pretpostavimo da slučajna varijabla X može poprimiti tri moguće vrijednosti 25, 45 i 50 s vjerojatnostima od 25%, 35% odnosno 40%. Niz distribucije ovog SV-a izgledat će ovako:
Funkcija distribucije iste slučajne varijable, koja pokazuje vjerojatnost da neće prijeći određenu vrijednost, može se napisati na sljedeći način:
Slika 3.1 prikazuje grafičke metode za određivanje zakona distribucije ove diskretne slučajne varijable X.
sl.3.1.
Na grafu niza distribucije vjerojatnosti p j realizacije svake moguće vrijednosti x j prikazane su stupcima čija je visina jednaka vjerojatnosti. Zbroj visina svih M stupaca (tj. svih vjerojatnosti) jednak je jedan, budući da pokrivaju sve moguće vrijednosti x:
Ponekad se umjesto traka povlači isprekidana linija koja povezuje vjerojatnosti ostvarenja vrijednosti SV.
Vjerojatnost da će diskretna slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od a jednaka je zbroju vjerojatnosti svih ishoda manjih od a:
Po definiciji, to je jednako vrijednosti funkcije distribucije u točki x = a. Nacrtamo li vrijednosti funkcije razdiobe na koordinatnoj ravnini kada x "prođe" kroz sve vrijednosti od minus beskonačno do plus beskonačno, dobit ćemo graf funkcije razdiobe. Za diskretni SV je stepenasti. Na intervalu od minus beskonačnosti do prve moguće vrijednosti x 1 jednaka je nuli, jer je na tom intervalu nemoguće prihvatiti bilo koju vrijednost.
Dalje, svaka moguća vrijednost x j povećava funkciju distribucije za iznos jednak vjerojatnosti pojavljivanja te vrijednosti p j . Između dvije uzastopne vrijednosti x j i x j+1 distribucijska funkcija se ne mijenja, jer tamo nema drugih mogućih vrijednosti x, niti dolazi do skokova. U konačnici, u točki posljednje moguće vrijednosti x M, događa se skok za vrijednost vjerojatnosti p M, a funkcija distribucije doseže graničnu vrijednost jednaku jedan. Zatim, grafikon ide na ovoj razini paralelno s x osi. Nikada ne raste više, jer vjerojatnost ne može biti veća od jedan.
3.2.4. Načini predstavljanja distribucije kontinuirane slučajne varijable
Kontinuirana slučajna varijabla također je dana svojom distribucijskom funkcijom, prikazanom, u pravilu, u analitičkom obliku. Osim toga, može se u potpunosti opisati funkcijom gustoće vjerojatnosti f(x), koja je prva derivacija funkcije distribucije F(x):
Funkcija gustoće vjerojatnosti je nenegativan, a njegov integral preko beskonačnih granica jednak je jedinici.
Uzmimo kao primjer kontinuiranu slučajnu varijablu raspodijeljenu prema normalnom zakonu.
Njegova funkcija gustoće vjerojatnosti dana je analitički formulom sljedećeg oblika:
Ovdje su m X i σ X parametri distribucije. m X karakterizira lokaciju distribucijskog centra, a σ X je disperzija u odnosu na to "središte".
Pošaljite svoj dobar rad u bazu znanja jednostavno je. Koristite obrazac u nastavku
Studenti, diplomanti, mladi znanstvenici koji koriste bazu znanja u svom studiju i radu bit će vam vrlo zahvalni.
Objavljeno na http://www.allbest.ru/
Diskretne slučajne varijable
Neka se provede neki test čiji je rezultat jedan od nekompatibilnih slučajnih događaja (broj događaja je ili konačan ili prebrojiv, tj. događaji se mogu numerirati). Svakom ishodu pridružuje se određeni realni broj, odnosno na skupu slučajnih događaja zadana je realna funkcija X s vrijednostima. Ova funkcija X se zove diskretna slučajan veličina(izraz "diskretno" se koristi jer su vrijednosti slučajne varijable pojedinačni brojevi, za razliku od kontinuiranih funkcija). Budući da se vrijednosti slučajne varijable mijenjaju ovisno o slučajnim događajima, glavni interes su vjerojatnosti s kojima slučajna varijabla poprima različite numeričke vrijednosti. Zakon distribucije slučajne varijable je svaki odnos koji uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti. Zakon raspodjele može imati raznih oblika. Za diskretnu slučajnu varijablu, zakon distribucije je skup parova brojeva (), gdje su moguće vrijednosti slučajne varijable, a su vjerojatnosti s kojima ona uzima ove vrijednosti: . pri čemu.
Parovi se mogu smatrati točkama u nekom koordinatnom sustavu. Spajanjem ovih točaka ravnim odsječcima dobivamo grafički prikaz zakona raspodjele - poligon raspodjele. Najčešće se zakon raspodjele diskretne slučajne varijable zapisuje u obliku tablice u koju se upisuju parovi.
Primjer. Novčić se baca dva puta. Napravite zakon za raspodjelu broja amblema u ovom testu.
Riješenje. Slučajna varijabla X je broj pojavljivanja "grba" u određenom testu. Očito, X može poprimiti jednu od tri vrijednosti: 0, 1, 2. Vjerojatnost da se prilikom jednog bacanja novčića pojavi “grb” je p = 0,5, a da ispadnu “repići” je q = 1. - p = 0,5. Vjerojatnosti s kojima slučajna varijabla poprima navedene vrijednosti nalazimo pomoću Bernoullijeve formule:
Zakon raspodjele slučajne varijable X zapisujemo u obliku tablice raspodjele
Kontrolirati:
Neki zakoni raspodjele diskretnih slučajnih varijabli, koji se često susreću pri rješavanju različitih problema, dobili su posebne nazive: geometrijska raspodjela, hipergeometrijska raspodjela, binomna raspodjela, Poissonova raspodjela i drugi.
Zakon distribucije diskretne slučajne varijable može se odrediti pomoću funkcije distribucije F(x), koja je jednaka vjerojatnosti da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednosti na intervalu ????h?: F(x) = P(X Funkcija F(x) definirana je na cijeloj realnoj osi i ima sljedeća svojstva: 1) ? ? F(x)? 1; 2) F(x) - neopadajuća funkcija; 3) F(??) = 0, F(+?) = 1; 4) F(b) - F(a) = P(a? X< b) - вероятность того, что случайная величина Х примет значения на промежутке 2 =(1-2.3) 2 =1.69 2 =(2-2.3) 2 =0.09 2 =(5-2.3) 2 =7.29 Napišimo zakon raspodjele kvadrata odstupanja: Rješenje: Nađimo matematičko očekivanje M(x): M(x)=2*0,1+3*0,6+5*0,3=3,5 Napišimo zakon raspodjele slučajne varijable X 2 Nađimo matematičko očekivanje M(x 2): M(x 2)=4*0,1+9*0,6+25*0,3=13,5 Tražena varijanca je D(x)=M(x 2)- 2 =13,3-(3,5) 2 =1,05 Disperzijska svojstva 1. Varijanca konstantne vrijednosti C je nula: D(C)=0 2. Konstantni faktor se može ukloniti iz predznaka disperzije tako da se kvadrira. D(Cx)=C 2 D(x) 3. Varijanca zbroja nezavisnih slučajnih varijabli jednaka je zbroju varijanci tih varijabli. D(X 1 +X 2 +...+X n)=D(X 1)+D(X 2)+...+D(X n) 4. Varijanca binomne distribucije jednaka je umnošku broja pokušaja i vjerojatnosti događanja i nepojavljivanja događaja u jednom pokušaju D(X)=npq. Za procjenu disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable oko njene srednje vrijednosti, osim disperzije, koriste se i neke druge karakteristike. To uključuje standardnu devijaciju. DEFINICIJA. Standardna devijacija slučajne varijable X je kvadratni korijen varijance: Primjer 8. Slučajna varijabla X dana je zakonom distribucije Pronađite standardnu devijaciju od y(x) Rješenje: Nađimo matematičko očekivanje X: M(x)=2*0,1+3*0,4+10*0,5=6,4 Nađimo matematičko očekivanje X 2: M(x 2)=2 2 *0,1+3 2 *0,4+10 2 *0,5=54 Nađimo varijancu: D(x)=M(x 2)=M(x 2)- 2 =54-6,4 2 =13,04 Potrebna standardna devijacija y(X)=vD(X)=v13.04?3.61 Teorema. Standardno odstupanje zbroja konačnog broja međusobno neovisnih slučajnih varijabli jednako je kvadratnom korijenu zbroja kvadrata standardnih odstupanja tih varijabli: Slučajne varijable Koncept slučajne varijable temelj je teorije vjerojatnosti i njezinih primjena. Slučajne varijable su, primjerice, broj bodova dobiven tijekom jednog bacanja kocke, broj raspadnutih atoma radija u određenom vremenskom razdoblju, broj poziva telefonskoj centrali u određenom vremenskom razdoblju, odstupanje od nazivne vrijednosti određene veličine dijela s pravilno prilagođenim tehnološkim procesom i sl. Tako, slučajan
veličina je varijabilna veličina koja, kao rezultat eksperimenta, može poprimiti jednu ili drugu brojčanu vrijednost. U nastavku ćemo razmotriti dvije vrste slučajnih varijabli – diskretne i kontinuirane. 1. Diskretne slučajne varijable Razmotrite slučajnu varijablu *, čije moguće vrijednosti tvore konačan ili beskonačan niz brojeva x1
,
x2
,
.
..,
xn,
.
..
.
Neka je zadana funkcija p(x), čija vrijednost u svakoj točki x=xja(i=1,2,.
..)
jednaka je vjerojatnosti da će količina poprimiti vrijednost xja.
Takva se slučajna varijabla naziva diskretna
(isprekidano). Funkcija p(x) nazvao po zakonu
distribucija
vjerojatnosti
slučajan
količinama, ili ukratko, po zakonu
distribucija. Ova je funkcija definirana u točkama sekvence x1
,
x2
,
.
..,
xn,
.
..
.
Kako u svakom od testova slučajna varijabla uvijek uzima neku vrijednost iz raspona svoje promjene, tada Primjer1.
Slučajna varijabla je broj bodova koji se pojavljuju kada se kocka baci jednom. Moguće vrijednosti su brojevi 1, 2, 3, 4, 5 i 6. Štoviše, vjerojatnost da će bilo koja od ovih vrijednosti poprimiti je ista i jednaka 1/6. Kakav će biti zakon raspodjele? ( Riješenje) Primjer2.
Neka je slučajna varijabla broj pojavljivanja događaja A u jednom testu, i P(A)=p. Skup mogućih vrijednosti sastoji se od 2 broja 0 i 1: =0
, ako događaj A nije dogodilo i =1
, ako događaj A dogodilo se. Tako, Pretpostavimo da je proizveden n neovisni testovi, kao rezultat svakog od njih se može ili ne mora dogoditi događaj A. Neka se dogodi vjerojatnost događaja A na svakom testu je jednako str A na n nezavisni testovi. Raspon promjene sastoji se od svih cijelih brojeva od 0
prije n uključivo. Zakon distribucije vjerojatnosti p(m) određuje se Bernoullijevom formulom (13"): Zakon distribucije vjerojatnosti prema Bernoullijevoj formuli često se naziva binomni, jer Pn(m) predstavlja mčlan binomnog proširenja. Neka slučajna varijabla ima bilo koju nenegativnu vrijednost cijelog broja i gdje je neka pozitivna konstanta. U ovom slučaju se kaže da je slučajna varijabla raspodijeljena zakon
Poisson, Imajte na umu da kada k=0 treba staviti 0!=1
. Kao što znamo, za velike brojeve n neovisni test vjerojatnosti Pn(m) uvredljiv m vremena događaja A prikladnije je pronaći ne pomoću Bernoullijeve formule, već Laplaceove formule [vidi. formula (15)]. Međutim, potonji daje velike pogreške s malom vjerojatnošću R pojava događaja A u jednom testu. U ovom slučaju, za izračunavanje vjerojatnosti Pn(m) Pogodno je koristiti Poissonovu formulu u koju bismo trebali staviti. Poissonova formula može se dobiti kao granični slučaj Bernoullijeve formule s neograničenim povećanjem broja testova n a kako se vjerojatnost približava nuli. Primjer3.
U tvornicu je stigla serija od 1000 dijelova. Vjerojatnost da će dio biti neispravan je 0,001. Kolika je vjerojatnost da među pristiglim dijelovima bude 5 neispravnih? ( Riješenje) Poissonova distribucija često se nalazi u drugim problemima. Tako npr. ako telefonski operater prima u prosjeku po satu N naziva, kako se može pokazati, vjerojatnost R(k)što će primiti u jednoj minuti k poziva, izražava se Poissonovom formulom, ako stavimo. Ako moguće vrijednosti slučajne varijable tvore konačan niz x1
,
x2
,
.
..,
xn, tada je zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable specificiran u obliku sljedeće tablice, u kojoj Vrijednosti Vjerojatnosti p(xi) Ova tablica se zove blizu
distribucija nasumična varijabla. Jasno funkcija p(x) može se prikazati kao grafikon. Da bismo to učinili, uzimamo pravokutni koordinatni sustav na ravnini. Moguće vrijednosti slučajne varijable nacrtat ćemo duž horizontalne osi, a vrijednosti funkcije duž vertikalne osi. Graf funkcije p(x) prikazano na sl. 2. Spojite li točke ovog grafikona ravnim odsječcima, dobit ćete lik tzv poligon
distribucija. Primjer4.
Neka događaj A-- pojavljivanje jedne točke prilikom bacanja kocke; R(A)=1/6. Razmotrimo slučajnu varijablu - broj pojavljivanja nekog događaja A s deset bacanja kocke. Vrijednosti funkcije p(x)(zakon raspodjele) dati su u sljedećoj tablici: Vrijednosti Vjerojatnosti p(xi) Vjerojatnosti p(xja)
izračunato pomoću Bernoullijeve formule pri n=10. Za x>6 praktički su jednaki nuli. Graf funkcije p(x) prikazan je na sl. 3. Funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable i njezina svojstva Razmotrite funkciju F(x), definiran na cijelom brojevnom pravcu na sljedeći način: za svaki x značenje F(x) jednaka je vjerojatnosti da će diskretna slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od x, tj. Ova funkcija se zove funkcija
distribucija
vjerojatnosti, ili ukratko, funkcija
distribucija. Primjer1.
Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable dane u primjeru 1, točka 1. ( Riješenje) Primjer2.
Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable dane u primjeru 2, korak 1. ( Riješenje) Poznavanje funkcije distribucije F(x), lako je pronaći vjerojatnost da slučajna varijabla zadovoljava nejednakosti. Razmotrite slučaj da će slučajna varijabla poprimiti manju vrijednost. Ovaj događaj se dijeli na zbroj dva nekompatibilna događaja: 1) slučajna varijabla ima manje vrijednosti, tj. ; 2) slučajna varijabla poprima vrijednosti koje zadovoljavaju nejednakosti. Koristeći aksiom zbrajanja, dobivamo Ali po definiciji funkcije distribucije F(x)[cm. formula (18)], imamo stoga, Tako, vjerojatnost
hitovi
diskretna
slučajan
količinama
V
interval
jednak
prirast
funkcije
distribucija
na
ovaj
interval. RazmotrimoOsnovni, temeljniSvojstvafunkcijedistribucije. 1°. Funkcija
distribucija
je
neopadajući. Zapravo, neka< . Так как вероятность любого события неотрицательна, то. Поэтому из формулы (19) следует, что 2°. Vrijednosti
funkcije
distribucija
zadovoljiti
nejednakosti . Ovo svojstvo proizlazi iz činjenice da F(x) definira se kao vjerojatnost [vidi formula (18)]. Jasno je da * i. 3°. Vjerojatnost
Ići,
Što
diskretna
slučajan
veličina
prihvatit će
jedan
iz
moguće
vrijednosti
xja,
jednak
galop
funkcije
distribucija
V
točka
xja. Doista, neka xja- vrijednost koju uzima diskretna slučajna varijabla, i. Uz pretpostavku u formuli (19), dobivamo U granici na, umjesto vjerojatnosti da slučajna varijabla padne u interval, dobivamo vjerojatnost da će vrijednost poprimiti zadanu vrijednost xja: S druge strane, dobivamo, tj. granica funkcije F(x) s desne strane, jer Stoga u limitu formula (20) ima oblik oni. značenje p(xja)
jednako skoku funkcije** xja. Ovo svojstvo je jasno ilustrirano na sl. 4 i sl. 5. Kontinuirane slučajne varijable Osim diskretnih slučajnih varijabli, čije moguće vrijednosti tvore konačan ili beskonačan niz brojeva koji ne ispunjavaju u potpunosti nijedan interval, često postoje slučajne varijable čije moguće vrijednosti tvore određeni interval. Primjer takve slučajne varijable je odstupanje od nazivne vrijednosti određene veličine dijela s pravilno prilagođenim tehnološkim procesom. Ova vrsta slučajnih varijabli ne može se specificirati pomoću zakona distribucije vjerojatnosti p(x). Međutim, oni se mogu odrediti pomoću funkcije distribucije vjerojatnosti F(x). Ova je funkcija definirana na točno isti način kao u slučaju diskretne slučajne varijable: Dakle, i ovdje funkcija F(x) definiran na cijelom brojevnom pravcu, a njegova vrijednost u točki x jednaka je vjerojatnosti da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost manju od x. Formula (19) i svojstva 1° i 2° vrijede za funkciju distribucije bilo koje slučajne varijable. Dokaz se provodi slično kao u slučaju diskretne veličine. Slučajna varijabla se zove stalan, ako za njega postoji nenegativna komadno kontinuirana funkcija* koja zadovoljava za bilo koje vrijednosti x jednakost Funkcija se zove gustoća
distribucija
vjerojatnosti, ili ukratko, gustoća
distribucija. Ako x 1
Na temelju geometrijskog značenja integrala kao površine, možemo reći da je vjerojatnost ispunjenja nejednakosti jednaka površini krivocrtnog trapeza s osnovicom
, omeđen gore krivuljom (Sl. 6). Budući da i na temelju formule (22) Koristeći formulu (22), nalazimo kao derivaciju integrala s obzirom na gornju graničnu varijablu, smatrajući da je gustoća distribucije kontinuirana**: Imajte na umu da za kontinuiranu slučajnu varijablu funkcija distribucije F(x) kontinuirano u bilo kojoj točki x, gdje je funkcija kontinuirana. To proizlazi iz činjenice da F(x) je diferencijabilan u tim točkama. Na temelju formule (23), uz pretpostavku x 1
=x, imamo Zbog kontinuiteta funkcije F(x) shvaćamo to Stoga Tako, vjerojatnost
Ići,
Što
stalan
slučajan
veličina
Može biti
prihvatiti
bilo koji
odvojiti
značenje
X,
jednak
nula. Iz toga slijedi da događaji koji se sastoje u ispunjenju svake od nejednakosti Imaju istu vjerojatnost, tj. Zapravo, npr. Komentar. Kao što znamo, ako je neki događaj nemoguć, tada je vjerojatnost da će se dogoditi jednaka nuli. S klasičnom definicijom vjerojatnosti, kada je broj ishoda testa konačan, vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako je vjerojatnost događaja jednaka nuli, tada je događaj nemoguć, jer mu u ovom slučaju niti jedan od ishoda testa ne ide u prilog. U slučaju kontinuirane slučajne varijable, broj njezinih mogućih vrijednosti je beskonačan. Vjerojatnost da će ta količina poprimiti određenu vrijednost x 1
kao što smo vidjeli, jednaka je nuli. Međutim, iz ovoga ne slijedi da je ovaj događaj nemoguć, jer kao rezultat testa slučajna varijabla može, posebice, poprimiti vrijednost x 1
. Dakle, u slučaju kontinuirane slučajne varijable ima smisla govoriti o vjerojatnosti da će slučajna varijabla upasti u interval, a ne o vjerojatnosti da će poprimiti određenu vrijednost. Tako nas, primjerice, kod izrade valjka ne zanima kolika je vjerojatnost da će njegov promjer biti jednak nazivnoj vrijednosti. Ono što nam je bitno je vjerojatnost da je promjer valjka u granicama tolerancije. Primjer. Gustoća distribucije kontinuirane slučajne varijable dana je kako slijedi: Grafikon funkcije prikazan je na sl. 7. Odredite vjerojatnost da će slučajna varijabla poprimiti vrijednost koja zadovoljava nejednakosti Nađite funkciju distribucije zadane slučajne varijable. ( Riješenje) Sljedeća dva odlomka posvećena su distribucijama kontinuiranih slučajnih varijabli koje se često susreću u praksi - uniformnoj i normalnoj distribuciji. * Funkcija se naziva kontinuiranom po komadu na cijelom brojevnom pravcu ako je kontinuirana na bilo kojem segmentu ili ima konačan broj točaka diskontinuiteta prve vrste. ** Pravilo diferenciranja integrala s promjenjivom gornjom granicom, izvedeno u slučaju konačne donje granice, ostaje važeće za integrale s beskonačnom donjom granicom. Doista, Budući da integral postoji konstantna vrijednost. Slučajne varijable Slučajne varijable označavaju numeričke karakteristike slučajnih događaja. Drugim riječima, slučajne varijable su numerički rezultati eksperimenata čije se vrijednosti ne mogu (u određenom trenutku) unaprijed predvidjeti. Na primjer, sljedeće vrijednosti mogu se smatrati slučajnim: 2. Postotak dječaka među djecom rođenom u određenom rodilištu na određeni dan. 3. Broj i površina sunčevih pjega vidljivih na određenoj zvjezdarnici tijekom određenog dana. 4. Broj studenata koji su zakasnili na ovo predavanje. 5. Tečaj dolara na burzi (recimo, na MICEX), iako možda nije tako "slučajan" kao što se čini običnim ljudima. 6. Broj kvarova opreme određenog dana u određenom poduzeću. Slučajne varijable se dijele na diskretne i kontinuirane, ovisno o tome je li skup svih mogućih vrijednosti odgovarajuće karakteristike diskretan ili kontinuiran. Ova je podjela prilično proizvoljna, ali korisna pri izboru odgovarajućih metoda istraživanja. Ako je broj mogućih vrijednosti slučajne varijable konačan ili usporediv sa skupom svih prirodnih brojeva (tj. može se ponovno numerirati), tada je slučajna varijabla PDF stvorena s FinePrint pdfFactory probnom verzijom http://www.fineprint.com naziva se diskretnim. Inače se naziva kontinuiranim, iako se zapravo implicitno pretpostavlja da zapravo kontinuirane slučajne varijable poprimaju svoju vrijednost u nekom jednostavnom numeričkom intervalu (segmentu, intervalu). Na primjer, slučajne varijable navedene gore pod brojevima 4 i 6 bit će diskretne, a kontinuirane - pod brojevima 1 i 3 (točkasta područja). Ponekad slučajna varijabla ima mješoviti karakter. Takav je, na primjer, tečaj dolara (ili neke druge valute), koji zapravo uzima samo diskretan skup vrijednosti, ali se u isto vrijeme ispostavlja zgodnim smatrati da skup njegovih vrijednosti je "kontinuiran". Slučajne varijable mogu se specificirati na različite načine. Diskretne slučajne varijable obično su specificirane svojim zakonom raspodjele. Ovdje je svaka moguća vrijednost x1, x2,... slučajne varijable X pridružena vjerojatnosti p1,p2,... te vrijednosti. Rezultat je tablica koja se sastoji od dva reda: Ovo je zakon raspodjele slučajne varijable. Kontinuirane slučajne varijable ne mogu se specificirati zakonom distribucije, budući da se po samoj njihovoj definiciji njihove vrijednosti ne mogu prenumerirati i stoga je njihovo postavljanje u obliku tablice ovdje isključeno. Međutim, za kontinuirane slučajne varijable postoji još jedan način specificiranja (primjenjiv, usput, i za diskretne varijable) - to je funkcija distribucije: jednaka vjerojatnosti događaja, a to je da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od zadanog broja x. Često je umjesto funkcije distribucije zgodno koristiti drugu funkciju - gustoću f(x) distribucije slučajne varijable X. Ponekad se naziva i diferencijalna funkcija distribucije, a F(x) u ovoj terminologiji je naziva se kumulativna funkcija distribucije. Ove dvije funkcije međusobno određuju jedna drugu pomoću sljedećih formula: Ako je slučajna varijabla diskretna, onda za nju koncept funkcije distribucije također ima smisla, graf funkcije distribucije sastoji se od vodoravnih dijelova, od kojih se svaki nalazi iznad prethodnog za iznos jednak pi; . Važni primjeri diskretnih veličina su, na primjer, binomno raspodijeljene količine (Bernoullijeva distribucija), za koje je PDF izrađen uz FinePrint pdfFactory probna verzija http://www.fineprint.com n pk(1-p)n-k= !()! gdje je p vjerojatnost pojedinačnog događaja (ponekad se konvencionalno naziva "vjerojatnost uspjeha"). Ovako se distribuiraju rezultati niza sekvencijalnih homogenih testova (Bernoullijeva shema). Granični slučaj binomne distribucije (kako se broj pokušaja povećava) je Poissonova distribucija, za koju pk=?k/k!·exp(-?), gdje je?>0 neki pozitivni parametar. Najjednostavniji primjer kontinuirane distribucije je uniformna distribucija. Ima konstantnu gustoću raspodjele na segmentu jednaku 1/(b-a), a izvan tog segmenta gustoća je 0. Izuzetno važan primjer kontinuirane distribucije je normalna distribucija. Specificiran je s dva parametra m i? (matematičko očekivanje i standardna devijacija - vidi dolje), njegova gustoća distribucije ima oblik: 1 exp(-(x-m)2/2?2) Temeljna uloga normalne distribucije u teoriji vjerojatnosti objašnjava se činjenicom da je, zbog Central Limit Theorema (CLT), zbroj velikog broja slučajnih varijabli koje su upareno neovisne (vidi dolje za koncept neovisnosti slučajnih varijable) ili slabo ovisne ispada da je približno raspodijeljena prema normalnom zakonu. Slijedi da se slučajna varijabla, čija je slučajnost uzrokovana nametanjem velikog broja slabo ovisnih slučajnih faktora, može smatrati približno normalno raspodijeljenom (bez obzira na to kako su raspoređeni faktori koji je čine). Drugim riječima, zakon normalne distribucije vrlo je univerzalan. Postoji nekoliko numeričkih karakteristika koje su prikladne za korištenje pri proučavanju slučajnih varijabli. Među njima izdvajamo matematičko očekivanje jednaka prosječnoj vrijednosti slučajne varijable, varijanca D(X)=M(X-M(X))2, jednaka matematičkom očekivanju kvadrata odstupanja slučajne varijable od prosječne vrijednosti, i još jedna, u praksi zgodna, dodatna vrijednost (iste dimenzije kao izvorna slučajna varijabla): naziva se standardna devijacija. Pretpostavit ćemo (bez daljnjeg navođenja ovoga) da svi pisani integrali postoje (tj. konvergiraju na cijeloj numeričkoj osi). Kao što je poznato, disperzija i standardna devijacija karakteriziraju stupanj raspršenja slučajne varijable oko njezine srednje vrijednosti. Što je manja varijanca PDF-a stvorena probnom verzijom FinePrint pdfFactory http://www.fineprint.com, to su vrijednosti slučajne varijable bliže grupirane oko njezine prosječne vrijednosti. Na primjer, očekivana vrijednost za Poissonovu distribuciju je ?, za uniformnu distribuciju jednaka je (a+b)/2, a za normalnu distribuciju jednaka je m. Varijanca za Poissonovu distribuciju jednaka je?, za jednoliku distribuciju (b-a)2/12, a za normalnu distribuciju jednaka je?2. U nastavku će se koristiti sljedeća svojstva matematičkog očekivanja i disperzije: 1. M(X+Y)= M(X)+M(Y). 3. D(cX)=c2D(X), gdje je c proizvoljan konstantan broj. 4. D(X+A)=D(A) za proizvoljnu konstantnu (neslučajnu) vrijednost A. Slučajna varijabla?=U-MU naziva se centriranom. Iz svojstva 1 slijedi da je M?=M(U-MU)=M(U)-M(U)=0, odnosno njegova prosječna vrijednost je 0 (s tim je i povezan naziv). Štoviše, na temelju svojstva 4 imamo D(?)=D(U). Također postoji korisna relacija koju je zgodno koristiti u praksi za izračunavanje varijance i povezanih veličina: 5. D(X)=M(X2)-M(X)2 Slučajne varijable X i Y nazivaju se neovisnima ako su za njihove proizvoljne vrijednosti x odnosno y događaji i neovisni. Na primjer, rezultati mjerenja napona u električnoj mreži i rast glavnog inženjera energetike poduzeća bit će neovisni (očigledno...). Ali snaga ove električne mreže i plaća glavnog inženjera energetike u poduzećima više se ne mogu uvijek smatrati neovisnima. Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada vrijede i sljedeća svojstva (koja ne moraju vrijediti za proizvoljne slučajne varijable): 5. M(XY)=M(X)M(Y). 6. D(X+Y)=D(X)+D(Y). Osim pojedinačnih slučajnih varijabli X,Y,... proučavaju se i sustavi slučajnih varijabli. Na primjer, par (X,Y) slučajnih varijabli može se tretirati kao nova slučajna varijabla čije su vrijednosti dvodimenzionalni vektori. Slično se mogu promatrati i sustavi većeg broja slučajnih varijabli, koji se nazivaju višedimenzionalne slučajne varijable. Sustavi veličina ove vrste također su određeni svojom funkcijom raspodjele. Na primjer, za sustav dviju slučajnih varijabli ova funkcija ima oblik F(x,y)=P, odnosno jednaka je vjerojatnosti događaja da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od zadanog broja x, a slučajna varijabla Y vrijednost manju od zadanog broja y. Ova se funkcija također naziva funkcija zajedničke distribucije slučajnih varijabli X i Y. Također možete uzeti u obzir srednji vektor - prirodni analog matematičkog očekivanja, ali umjesto disperzije morate proučavati nekoliko numeričkih karakteristika koje se nazivaju momenti drugog reda. To su, prvo, dvije djelomične varijance DX i DY PDF stvorene s FinePrint pdfFactory probnom verzijom http://www.fineprint.com slučajnih varijabli X i Y, koje se razmatraju odvojeno, i, drugo, kovarijancijski moment, koji se detaljnije razmatra u nastavku . Ako su slučajne varijable X i Y neovisne, tada F(x,y)=FX(x)FY(y) Umnožak funkcija distribucije slučajnih varijabli X i Y i stoga proučavanje para nezavisnih slučajnih varijabli uvelike se svodi na jednostavno zasebno proučavanje X i Y. Slučajne varijable Gore smo razmatrali eksperimente čiji su rezultati slučajni događaji. Međutim, često postoji potreba da se rezultati eksperimenta kvantitativno prikažu u obliku određene veličine, koja se naziva slučajna varijabla. Slučajna varijabla je drugi (nakon slučajnog događaja) glavni predmet proučavanja u teoriji vjerojatnosti i pruža općenitiji način opisivanja iskustva sa slučajnim ishodom od skupa slučajnih događaja. Kad smo razmatrali pokuse sa slučajnim ishodima, već smo imali posla sa slučajnim varijablama. Stoga je broj uspjeha u nizu pokušaja primjer slučajne varijable. Drugi primjeri slučajnih varijabli su: broj poziva na telefonskoj centrali po jedinici vremena; vrijeme čekanja na sljedeći poziv; broj čestica s određenom energijom u sustavima čestica razmatranih u statističkoj fizici; prosječna dnevna temperatura u određenom području itd. Slučajnu varijablu karakterizira činjenica da je nemoguće točno predvidjeti vrijednost koju će poprimiti, ali s druge strane, skup njezinih mogućih vrijednosti obično je poznat. Dakle, za broj uspjeha u nizu pokušaja, ovaj skup je konačan, budući da broj uspjeha može poprimiti vrijednosti. Skup vrijednosti slučajne varijable može se podudarati s stvarnom poluosi, kao u slučaju vremena čekanja itd. Razmotrimo primjere eksperimenata sa slučajnim ishodom, za čiji se opis obično koriste slučajni događaji, te uvedimo ekvivalentan opis navođenjem slučajne varijable. 1). Neka rezultat iskustva bude događaj ili događaj. Zatim se ovaj eksperiment može povezati sa slučajnom varijablom koja ima dvije vrijednosti, na primjer, i s vjerojatnostima i, te se jednakosti odvijaju: i. Dakle, iskustvo karakteriziraju dva ishoda s vjerojatnostima i, ili isto iskustvo karakterizira slučajna varijabla koja ima dvije vrijednosti i s vjerojatnostima i. 2). Razmotrimo eksperiment bacanja kocke. Ovdje ishod eksperimenta može biti jedan od događaja, gdje - pojavljivanje strane s brojem. Vjerojatnosti. Uvedimo ekvivalentan opis ovog eksperimenta koristeći slučajnu varijablu koja može poprimiti vrijednosti s vjerojatnostima. 3). Niz neovisnih pokušaja karakterizira potpuna skupina nekompatibilnih događaja, gdje je događaj koji se sastoji od pojave uspjeha u nizu pokušaja; a vjerojatnost događaja određena je Bernoullijevom formulom, tj. Ovdje možete unijeti slučajnu varijablu - broj uspjeha, koji uzima vrijednosti s vjerojatnostima. Dakle, slijed neovisnih pokusa karakteriziraju slučajni događaji s njihovim vjerojatnostima ili slučajna varijabla s vjerojatnostima onoga što poprima vrijednosti. 4). Međutim, za svaki eksperiment sa slučajnim ishodom ne postoji tako jednostavna korespondencija između slučajne varijable i skupa slučajnih događaja. Na primjer, razmotrite eksperiment u kojem je točka nasumično bačena na segment. Ovdje je prirodno uvesti slučajnu varijablu - koordinatu na segmentu gdje pada točka. Dakle, možemo govoriti o slučajnom događaju, gdje je broj. Međutim, vjerojatnost ovog događaja. Možete to učiniti drugačije - podijelite segment na konačan broj disjunktnih segmenata i razmotrite slučajne događaje koji se sastoje u činjenici da slučajna varijabla uzima vrijednosti iz intervala. Tada su vjerojatnosti konačne veličine. Međutim, ova metoda također ima značajan nedostatak, budući da su segmenti odabrani proizvoljno. Kako bi se uklonio ovaj nedostatak, razmotrite segmente obrasca u kojima se nalazi varijabla. Tada je odgovarajuća vjerojatnost funkcija argumenta. Time se komplicira matematički opis slučajne varijable, ali istovremeno opis (29.1) postaje jedinstven, a dvosmislenost u izboru segmenata otklanja se. Za svaki od razmatranih primjera lako je definirati prostor vjerojatnosti, gdje je prostor elementarnih događaja, je algebra događaja (podskupova), a je vjerojatnost definirana za bilo koji. Na primjer, u posljednjem primjeru, - je algebra svih segmenata sadržanih u. Razmotreni primjeri dovode do sljedeće definicije slučajne varijable. Neka je prostor vjerojatnosti. Slučajna varijabla je realna funkcija s jednom vrijednošću, definirana na, za koju je skup elementarnih događaja oblika događaj (tj. pripada) za svaki realni broj. Prema tome, definicija zahtijeva da za svaki real postoji skup, a ovaj uvjet osigurava da je za svaki definirana vjerojatnost događaja. Taj se događaj obično označava kraćim zapisom. Funkcija distribucije vjerojatnosti Funkcija se naziva funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable. Funkcija se ponekad naziva kratko - funkcija distribucije, a također - integralni zakon distribucije vjerojatnosti slučajne varijable. Funkcija je cjelovita karakteristika slučajne varijable, odnosno ona je matematički opis svih svojstava slučajne varijable i ne postoji detaljniji način za opisivanje tih svojstava. Uočimo sljedeću važnu značajku definicije (30.1). Često se funkcija definira drugačije: Prema (30.1) funkcija je kontinuirana desno. O ovom pitanju će se detaljnije raspravljati u nastavku. Ako koristimo definiciju (30.2), tada je - kontinuirana s lijeve strane, što je posljedica primjene stroge nejednakosti u relaciji (30.2). Funkcije (30.1) i (30.2) su ekvivalentni opisi slučajne varijable, jer nije važno koja se definicija koristi i pri proučavanju teorijskih pitanja i pri rješavanju problema. Radi određenosti, u nastavku ćemo koristiti samo definiciju (30.1). Razmotrimo primjer konstruiranja grafa funkcije. Neka slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima i. Dakle, ova slučajna varijabla uzima druge vrijednosti osim onih navedenih s nultom vjerojatnošću:, za bilo koji,. Ili kako kažu, slučajna varijabla ne može imati druge vrijednosti osim. Neka bude sigurno. Nađimo vrijednosti funkcije za intervale: 1), 2), 3), 4), 5), 6), 7). Na prvom intervalu, dakle funkcija raspodjele. 2). Ako tada. Očito slučajni događaji i nekompatibilni, dakle, prema formuli za zbrajanje vjerojatnosti. Prema uvjetu, događaj je nemoguć i, a. Zato. 3). Neka bude onda. Ovdje je prvi izraz, a drugi, jer je događaj nemoguć. Dakle, za sve koji zadovoljavaju uvjet. 4). Neka bude onda. 5). Ako tada. 6) Kada imamo. 7) Ako, onda. Rezultati proračuna prikazani su na sl. 30.1 graf funkcije. Na točkama prekida, označen je kontinuitet funkcije s desne strane. Osnovna svojstva funkcije distribucije vjerojatnosti Razmotrimo glavna svojstva funkcije distribucije, koja izravno proizlaze iz definicije: 1. Uvedimo oznaku:. Zatim iz definicije proizlazi. Ovdje se izraz smatra nemogućim događajem s nultom vjerojatnošću. 2. Pusti to. Tada iz definicije funkcije proizlazi. Slučajni događaj je pouzdan i njegova je vjerojatnost jednaka jedinici. 3. Vjerojatnost slučajnog događaja koja se sastoji u činjenici da slučajna varijabla uzima vrijednost iz intervala na određena je kroz funkciju sljedećom jednakošću Da bismo dokazali ovu jednakost, razmotrimo relaciju. Događaji i su nekompatibilni, stoga prema formuli za zbrajanje vjerojatnosti iz (31.3) slijedi da se i podudara s formulom (31.2), budući da i. 4. Funkcija je neopadajuća. Za dokaz, pogledajmo. U tom slučaju vrijedi jednakost (31.2). Njegova lijeva strana je zato što vjerojatnost uzima vrijednosti iz intervala. Stoga je desna strana jednakosti (31.2) nenegativna:, ili. Ova jednakost je dobivena pod uvjetom, dakle, da je neopadajuća funkcija. 5. Funkcija je kontinuirana desno u svakoj točki, tj. gdje je bilo koji niz koji teži udesno, tj. I. Da bismo to dokazali, predstavimo funkciju kao: Sada, na temelju aksioma prebrojive aditivnosti vjerojatnosti, izraz u vitičastim zagradama je jednak, čime se dokazuje pravi kontinuitet funkcije. Dakle, svaka funkcija distribucije vjerojatnosti ima svojstva 1-5. Vrijedi i obrnuta tvrdnja: ako zadovoljava uvjete 1-5, tada se može smatrati funkcijom distribucije neke slučajne varijable. Funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable Slučajna varijabla se naziva diskretnom ako je skup njenih vrijednosti konačan ili prebrojiv. Za potpuni probabilistički opis diskretne slučajne varijable koja poprima vrijednosti, dovoljno je specificirati vjerojatnosti da slučajna varijabla poprimi vrijednost. Ako su dani i, tada se funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable može predstaviti kao: Ovdje se zbrajanje provodi po svim indeksima koji zadovoljavaju uvjet. Funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable ponekad se predstavlja kroz takozvanu jediničnu funkciju skoka. U ovom slučaju, poprima oblik ako slučajna varijabla ima konačan skup vrijednosti, a gornja granica zbrajanja u (32.4) postavljena je na jednaku ako slučajna varijabla uzima prebrojiv skup vrijednosti. Primjer konstruiranja grafa funkcija distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable razmatran je u paragrafu 30. Gustoća distribucije vjerojatnosti Neka slučajna varijabla ima diferencijabilnu funkciju distribucije vjerojatnosti, tada se funkcija naziva gustoća distribucije vjerojatnosti (ili gustoća vjerojatnosti) slučajne varijable, a slučajna varijabla se naziva kontinuirana slučajna varijabla. Razmotrimo osnovna svojstva gustoće vjerojatnosti. Iz definicije derivacije slijedi jednakost: Prema svojstvima funkcije vrijedi jednakost. Stoga (33.2) ima oblik: Ovaj odnos objašnjava naziv funkcije. Doista, prema (33.3), funkcija je vjerojatnost po jedinici intervala u točki, jer. Dakle, gustoća vjerojatnosti definirana relacijom (33.3) slična je definicijama gustoća drugih veličina poznatih u fizici, kao što su gustoća struje, gustoća materije, gustoća naboja itd. 2. Budući da je neopadajuća funkcija, njezina derivacija je nenegativna funkcija: 3. Slijedi iz (33.1), jer. Dakle, jednakost je istinita 4. Budući da iz relacije (33.5) slijedi Jednakost koja se naziva uvjet normalizacije. Njegova lijeva strana je vjerojatnost određenog događaja. 5. Neka onda slijedi iz (33.1) Ovaj odnos je važan za aplikacije jer omogućuje izračunavanje vjerojatnosti kroz funkciju gustoće vjerojatnosti ili kroz funkciju distribucije vjerojatnosti. Ako to postavimo, onda relacija (33.6) slijedi iz (33.7). Na sl. Slika 33.1 prikazuje primjere funkcije distribucije i grafova gustoće vjerojatnosti. Imajte na umu da gustoća distribucije vjerojatnosti može imati nekoliko maksimuma. Vrijednost argumenta pri kojoj gustoća ima maksimum naziva se način distribucije slučajne varijable. Ako gustoća ima više od jednog moda, naziva se multimodalna. Gustoća vjerojatnosti diskretne slučajne varijable distribucija diskretna gustoća vjerojatnosti Neka slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima. Tada je njegova funkcija distribucije vjerojatnosti gdje je funkcija jediničnog skoka. Gustoća vjerojatnosti slučajne varijable može se odrediti iz njezine funkcije distribucije, uzimajući u obzir jednakost. Međutim, u ovom slučaju nastaju matematičke poteškoće zbog činjenice da funkcija jediničnog skoka uključena u (34.1) ima diskontinuitet prve vrste na. Dakle, ne postoji derivacija funkcije u točki. Kako bi se prevladala ova složenost, uvedena je -funkcija. Jedinična funkcija skoka može se prikazati kroz -funkciju sljedećom jednakošću: Tada se formalno derivacija i gustoća vjerojatnosti diskretne slučajne varijable određuju iz relacije (34.1) kao derivacija funkcije: Funkcija (34.4) ima sva svojstva gustoće vjerojatnosti. Pogledajmo primjer. Neka diskretna slučajna varijabla ima vrijednosti s vjerojatnostima i neka,. Tada se vjerojatnost da će slučajna varijabla uzeti vrijednost iz segmenta može izračunati na temelju općih svojstava gustoće pomoću formule: Ovdje, budući da se singularna točka funkcije određena uvjetom nalazi unutar domene integracije at, a singularna točka se nalazi izvan domene integracije. Tako. Za funkciju (34.4) također je zadovoljen uvjet normalizacije: Imajte na umu da se u matematici zapis oblika (34.4) smatra netočnim (neispravnim), a zapis (34.2) ispravnim. To je zbog činjenice da je - funkcija s nula argumentom i kaže se da ne postoji. S druge strane, u (34.2) funkcija je sadržana pod integralom. Štoviše, desna strana (34.2) je konačna vrijednost za bilo koju, tj. integral -funkcije postoji. Unatoč tome, u fizici, tehnici i drugim primjenama teorije vjerojatnosti često se koristi prikaz gustoće u obliku (34.4), koji, prvo, omogućuje dobivanje točnih rezultata korištenjem svojstava - funkcija, i drugo, ima očitu fizikalnu tumačenje. Primjeri gustoća i funkcija distribucije vjerojatnosti 35.1.
Kaže se da je slučajna varijabla ravnomjerno raspoređena na intervalu ako je njezina gustoća distribucije vjerojatnosti gdje je broj određen iz uvjeta normalizacije: Zamjenom (35.1) u (35.2) dolazi se do jednakosti čije rješenje ima oblik:. Funkcija distribucije vjerojatnosti jednoliko raspodijeljene slučajne varijable može se pronaći pomoću formule (33.5), koja određuje kroz gustoću: Na sl. Na slici 35.1 prikazani su grafovi funkcija i jednoliko raspodijeljene slučajne varijable. 35.2.
Slučajna varijabla se naziva normalnom (ili Gaussovom) ako je njezina gustoća distribucije vjerojatnosti: gdje su brojevi koji se nazivaju parametri funkcije. Kada funkcija dobije najveću vrijednost:. Parametar ima značenje efektivne širine. Osim ove geometrijske interpretacije, parametri imaju i probabilističku interpretaciju, o čemu će biti riječi kasnije. Iz (35.4) slijedi izraz za funkciju distribucije vjerojatnosti gdje je Laplaceova funkcija. Na sl. Slika 35.2 prikazuje grafove funkcija i normalne slučajne varijable. Oznaka se često koristi za označavanje da slučajna varijabla ima normalnu distribuciju s parametrima. 35.3.
Slučajna varijabla ima Cauchyjevu funkciju gustoće vjerojatnosti ako Ova gustoća odgovara funkciji distribucije 35.4.
Kaže se da je slučajna varijabla raspodijeljena prema eksponencijalnom zakonu ako njezina gustoća distribucije vjerojatnosti ima oblik: Odredimo njegovu funkciju distribucije vjerojatnosti. Kada slijedi iz (35.8). Ako tada 35.5.
Rayleighova distribucija vjerojatnosti slučajne varijable određena je gustoćom oblika Ova gustoća odgovara funkciji distribucije vjerojatnosti at i jednaka at. 35.6.
Razmotrimo primjere konstruiranja funkcije distribucije i gustoće diskretne slučajne varijable. Neka je slučajna varijabla broj uspjeha u nizu neovisnih pokušaja. Tada slučajna varijabla poprima vrijednosti s vjerojatnošću određenom Bernoullijevom formulom: gdje su vjerojatnosti uspjeha i neuspjeha u jednom eksperimentu. Dakle, funkcija distribucije vjerojatnosti slučajne varijable ima oblik gdje je jedinica skok funkcija. Otuda gustoća distribucije: gdje je delta funkcija. Singularne slučajne varijable Osim diskretnih i kontinuiranih slučajnih varijabli, postoje i tzv. singularne slučajne varijable. Ove slučajne varijable karakterizira činjenica da je njihova funkcija distribucije vjerojatnosti kontinuirana, ali točke rasta čine skup nulte mjere. Točka rasta funkcije je vrijednost njenog argumenta tako da derivacija. Dakle, gotovo svugdje na domeni definiranja funkcije. Funkcija koja zadovoljava ovaj uvjet naziva se i singularna. Primjer singularne funkcije distribucije je Cantorova krivulja (slika 36.1), koja se konstruira na sljedeći način. Oslanja se na i na. Zatim se interval podijeli na tri jednaka dijela (segmenta) i odredi se vrijednost za unutarnji segment - kao poluzbroj već određenih vrijednosti u najbližim segmentima desno i lijevo. U ovom trenutku, funkcija je definirana za, njezinu vrijednost i za s vrijednošću. Poluzbroj ovih vrijednosti jednak je i određuje vrijednost na unutarnjem segmentu. Zatim se razmatraju segmenti i svaki od njih se dijeli na tri jednaka segmenta te se na unutarnjim segmentima određuje funkcija kao poluzbroj zadanih vrijednosti funkcije najbliže desno i lijevo. Dakle, kada je funkcija poput poluzbroja brojeva i. Slično na intervalnoj funkciji. Funkcija se zatim definira na intervalu na kojem itd. Slučajne varijable. Funkcija i gustoća distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable. Singularne slučajne varijable. Matematičko očekivanje slučajne varijable. Čebiševljeva nejednakost. Momenti, kumulante i karakteristična funkcija. sažetak, dodan 03.12.2007 Pojmovi teorije vjerojatnosti i matematičke statistike, njihova primjena u praksi. Definicija slučajne varijable. Vrste i primjeri slučajnih varijabli. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. Zakoni distribucije kontinuirane slučajne varijable. sažetak, dodan 25.10.2015 Vjerojatnost da slučajna varijabla X padne u zadani interval. Iscrtavanje funkcije distribucije slučajne varijable. Određivanje vjerojatnosti da nasumce uzet proizvod zadovoljava standard. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable. test, dodan 24.01.2013 Diskretne slučajne varijable i njihove distribucije. Formula ukupne vjerojatnosti i Bayesova formula. Opća svojstva matematičkog očekivanja. Varijanca slučajne varijable. Funkcija distribucije slučajne varijable. Klasična definicija vjerojatnosti. test, dodan 13.12.2010 Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable. Matematičko očekivanje kontinuirane slučajne varijable, gustoća distribucije vjerojatnosti sustava. Kovarijanca. Koeficijent korelacije. laboratorijski rad, dodan 19.08.2002 Značajke funkcije distribucije kao najuniverzalnije karakteristike slučajne varijable. Opis njegovih svojstava, njihov prikaz pomoću geometrijske interpretacije. Pravilnosti izračuna vjerojatnosti distribucije diskretne slučajne varijable. prezentacija, dodano 01.11.2013 Određivanje vjerojatnosti različitih događaja pomoću Bernoullijeve formule. Sastavljanje zakona distribucije diskretne slučajne varijable, izračunavanje matematičkog očekivanja, disperzije i standardne devijacije slučajne varijable, gustoće vjerojatnosti. test, dodan 31.10.2013 Korištenje Bernoullijeve formule za određivanje vjerojatnosti događanja događaja. Iscrtavanje grafa diskretne slučajne varijable. Matematičko očekivanje i svojstva funkcije integralne distribucije. Funkcija distribucije kontinuirane slučajne varijable. test, dodan 29.01.2014 Teorija vjerojatnosti i obrasci masovnih slučajnih pojava. Nejednakost i Čebiševljev teorem. Numeričke karakteristike slučajne varijable. Gustoća distribucije i Fourierova transformacija. Karakteristična funkcija Gaussove slučajne varijable. sažetak, dodan 24.01.2011 Izračun matematičkog očekivanja, varijance, funkcije distribucije i standardne devijacije slučajne varijable. Zakon raspodjele slučajne varijable. Klasična definicija vjerojatnosti događaja. Određivanje gustoće distribucije. Slučajna varijabla se zove diskretna,
ako skup svih njegovih mogućih vrijednosti predstavlja konačan ili beskonačan, ali nužno prebrojiv skup vrijednosti, tj. takav skup, čiji se svi elementi mogu (barem teoretski) numerirati i ispisati u odgovarajućem nizu. Gore navedene slučajne varijable, kao što su broj bodova dobiven bacanjem kocke, broj posjetitelja ljekarne tijekom dana i broj jabuka na stablu, diskretne su slučajne varijable. Najcjelovitiju informaciju o diskretnoj slučajnoj varijabli pruža zakon raspodjele
ova vrijednost - to je podudarnost između svih mogućih vrijednosti ove slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable često se navodi u obliku tablice s dva retka, u čijem su prvom redu navedene sve moguće vrijednosti te vrijednosti (uzlaznim redoslijedom), a u drugom retku navedene su vjerojatnosti koje odgovaraju ove vrijednosti: Budući da sve moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable predstavljaju cjelovit sustav, zbroj vjerojatnosti je jednak jedan ( stanje normalizacije): Primjer 4. Postoji deset studentskih grupa od 12, 10, 8, 10, 9, 12, 8, 11, 10 i 9 učenika. Napravite zakon raspodjele za slučajnu varijablu X, definiranu kao broj učenika u slučajno odabranoj grupi. Riješenje.
Moguće vrijednosti slučajne varijable X koja se razmatra (uzlaznim redoslijedom) su 8, 9, 10, 11, 12. Vjerojatnost da će u nasumično odabranoj grupi biti 8 učenika jednaka je Slično, možete pronaći vjerojatnosti preostalih vrijednosti slučajne varijable X: Dakle, željeni zakon raspodjele: Zakon distribucije diskretne slučajne varijable također se može specificirati pomoću formule koja dopušta da se za svaku moguću vrijednost ove varijable odredi odgovarajuća vjerojatnost (na primjer, Bernoullijeva distribucija, Poissonova distribucija). Za opisivanje određenih značajki diskretne slučajne varijable koristi se osnovne numeričke karakteristike: matematičko očekivanje, varijanca i standardna devijacija (standard). Matematičko očekivanje
M (X) (također se koristi oznaka "μ") diskretne slučajne varijable x je zbroj proizvoda svake od svih njegovih mogućih vrijednosti i odgovarajućih vjerojatnosti: Glavno značenje matematičkog očekivanja diskretne slučajne varijable je da ono predstavlja Prosječna vrijednost ove vrijednosti. Drugim riječima, ako se provede određeni broj testova na temelju kojih se nađe aritmetička sredina svih promatranih vrijednosti diskretne slučajne varijable X, tada je ta aritmetička sredina približno jednaka (točnije, što je veći broj testova) na matematičko očekivanje ove slučajne varijable. Predstavimo neka svojstva matematičkog očekivanja. 1. Matematičko očekivanje konstantne vrijednosti jednako je ovoj konstantnoj vrijednosti: M(S)=C 2. Matematičko očekivanje umnoška konstantnog faktora diskretne slučajne varijable jednako je umnošku ovog konstantnog faktora matematičkog očekivanja ove slučajne varijable: M(kX)=kM(X) 3. Matematičko očekivanje zbroja dviju slučajnih varijabli jednako je zbroju matematičkih očekivanja ovih varijabli: M(X+Y)=M(X)+M(Y) 4. Matematičko očekivanje umnoška neovisnih slučajnih varijabli jednako je umnošku njihovih matematičkih očekivanja: M(X·Y)=M(X)·M(Y) Pojedinačne vrijednosti diskretne slučajne varijable grupiraju se oko matematičkog očekivanja kao središta. Za karakterizaciju stupnja disperzije mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable u odnosu na njezino matematičko očekivanje, koncept varijanca diskretne slučajne varijable. VarijancaD(X) (također se koristi oznaka "σ 2 ") diskretne slučajne varijable X je matematičko očekivanje kvadrata odstupanja ove vrijednosti od njenog matematičkog očekivanja: D(X)=σ 2 =M((X - μ) 2),(11) U praksi je prikladnije izračunati varijancu pomoću formule D(X)=σ 2 =M(X 2) - μ 2, (12) Nabrojimo glavna svojstva disperzije. D(X)≥0 D(kX)=k 2 ·D(X). S računske točke gledišta, varijanca nije prikladnija, već druga mjera disperzije slučajne varijable x, koji se najčešće koristi - standardna devijacija(standardna devijacija ili jednostavno standard).
Standardna devijacija diskretne slučajne varijable je kvadratni korijen njezine varijance: Pogodnost standardne devijacije je u tome što ima dimenziju same slučajne varijable x, dok varijanca ima dimenziju koja predstavlja kvadrat dimenzije X. Kraj posla - Ova tema pripada odjeljku: Znanstvena i metodološka utemeljenost teme.. teorija vjerojatnosti proučava obrasce koji se pojavljuju u proučavanju takvih.. mnogi slučajni događaji mogu se kvantificirati pomoću slučajnih varijabli koje poprimaju vrijednosti u.. Ako trebate dodatne materijale o ovoj temi ili niste pronašli ono što ste tražili, preporučamo pretraživanje naše baze radova: Ako vam je ovaj materijal bio koristan, možete ga spremiti na svoju stranicu na društvenim mrežama:
Slični dokumenti
x
x 1
x 2
…
x n
P
str 1
str 2
…
r n
x
P 0,2
0,2
0,3
0,1
0,2
Elementi teorije vjerojatnosti
Što ćemo učiniti s primljenim materijalom:
